Оплата услуг

[GlebHappy]

Есть департамент в правительстве региона. Есть бюджетная организация в составе этого департамента.

Уже мимо. Департамент - это орган исполнительной власти субъекта, т.е. является в смысле бюджетного учета казенным учреждением. Бюджетное учреждение, которое уже по статусу является отдельным юрлицом совершенно другого типа - подразделением департамента является априори не может.
Далее, и оплаты департаментом за другое учреждение, не являющееся получателем бюджетных средств, тоже производиться не может, все денежные расчеты между казенным и бюджетным учреждением идут в формате - перечисление субсидии, возврат субсидии.

Тут два варианта - либо Вы что-то не договариваете, либо всё совсем не так как Вам кажется